Polígonos

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Polígonos

 

Los polígonos son figuras cerradas planas formadas por segmentos rectilíneos. A estos segmentos los llamamos lados. Estos lados unen puntos que se llaman vértices. Un polígono, por lo tanto, tendrá el mismo número de lados que de vértices. Según el número de lados, los polígonos reciben diferentes nombres:

3 – Triángulo.

4 – Cuadrilátero.

5 – Pentágono.

6 – Hexágono.

7 – Heptágono.

8 – Octógono u octágono.

9 – Eneágono o nonágono.

10 – Decágono.

11 – Endecágono.

12 – Dodecágono.

Clasificación de los polígonos

Existen diferentes clasificaciones de los polígonos atendiendo a diferentes aspectos, pero la fundamental es la que diferencia polígonos regulares e irregulares.

Los polígonos regulares son aquellos que tienen todos sus lados iguales y todos sus ángulos iguales. Se deben cumplir las dos condiciones. Todos aquellos polígonos que no cumplen las dos condiciones mencionadas anteriormente serán irregulares.

 

Triángulos

Los triángulos son polígonos de tres lados, tres vértices y tres ángulos. La suma de sus ángulos es igual a 180 grados. Se pueden clasificar de diferentes maneras:

1. Según sus ángulos:

a) Acutángulo: Tiene sus 3 ángulos agudos (menores de 90º).

b) Rectángulo: Tiene 1 ángulo recto (90º).

c) Obtusángulo: Tiene 1 ángulo obtuso (mayor de 90º).

1.a) Triángulo acutángulo

1.b) Triángulo rectángulo

1.c) Triángulo obtusángulo

2. Según sus lados:

a) Equilátero: Tiene sus 3 lados iguales.

b) Isósceles: Tiene 2 lados iguales.

c) Escaleno: No tiene ningún lado igual a otro.

2.a) Triángulo equilátero

2.b) Triángulo isósceles

2.c) Triángulo escaleno

 

Puntos notables de los triángulos

Circuncentro

El circuncentro (Cc) de un triángulo es el punto en el que se cortan sus tres mediatrices.

Es el centro de la circunferencia circunscrita del triángulo.

Incentro

El incentro (Ic) de un triángulo es el punto en el que se cortan sus tres bisectrices.

Es el centro de la circunferencia inscrita del triángulo.

Baricentro

El baricentro (G) de un triángulo es el punto en el que se cortan sus tres medianas.

Es el centro de gravedad del triángulo.

Ortocentro

El ortocentro (Oc) de un triángulo es el punto en el que se cortan sus tres alturas.

Recta de Euler

El circuncentro, el baricentro y el ortocentro de un triángulo tienen la propiedad de estar alineados. La recta que pasa por dichos 3 puntos notables recibe el nombre de recta de Euler. Se cumple también la propiedad que la distancia entre baricentro y ortocentro es el doble de la distancia del baricentro al circuncentro.

 

Trazado de triángulos

Triángulo equilátero dado el lado

Tomando la medida del lado con el compás trazamos dos arcos con centros en los extremos de dicho lado.

Triángulo equilátero dada su altura

Resuelto por semejanza.

Triángulo isósceles dados sus lados desiguales

A partir del lado desigual trazamos dos arcos con centros en los extremos del lado y radio el de los lados iguales que se cortan en el tercer vértice.

Triángulo equilátero inscrito

Dibujamos un diámetro y con el radio de la circunferencia dibujamos un arco con centro en un extremo.

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Triángulo isósceles dada la base y la altura

A partir del lado desigual ubicamos la altura que coincide con la mediatriz de dicho lado.

Triángulo isósceles dados el lado y el ángulo desiguales

A partir del lado desigual transportamos el ángulo dado a uno de sus extremos. La semirrecta resultante corta con la mediatriz en el tercer vértice.

Triángulo isósceles dados dos lados y una mediana

Interesante ejercicio extraído del modelo de examen EvAU de 2018 en Madrid. 

Triángulo rectángulo dada su hipotenusa y un cateto

Trazado muy sencillo dibujando un ángulo recto y ubicando la hipotenusa con la ayuda del compás.

Triángulo rectángulo dados sus catetos

Ubicamos los catetos formando un ángulo recto.

Triángulo rectángulo isósceles dada su hipotenusa

Método basado en el teorema del arco capaz.

Triángulo rectángulo dados un vértice, una mediatriz y una altura

Método basado en el teorema del arco capaz.

Triángulo rectángulo dada su hipotenusa y la diferencia de sus catetos

Método sustentado por la construcción de un triángulo rectángulo isósceles auxiliar.

Triángulo rectángulo dada la hipotenusa y la suma de los catetos

Método sustentado por la construcción de un triángulo rectángulo isósceles auxiliar.

Triángulo dados sus lados

Construcción básica de un triángulo mediante arcos de circunferencia.

Triángulo dado un ángulo y sus dos lados contiguos

Método sencillo en el que aprovechamos para recordar el transporte de ángulos con compás.

Triángulo escaleno dada la base, el ángulo opuesto y otro de sus lados

Método basado en el teorema del arco capaz.

Triángulo dado un lado y sus dos ángulos adyacentes

Para resolverlo transportamos los dos ángulos con el compás a ambos extremos del lado.

Triángulo dados dos ángulos y el radio de la circunferencia circunscrita

Ejercicio resuelto por semejanza.

Triángulo dados dos lados y la mediana del tercero

Resuelto construyendo un romboide.

Triángulo dado lado a, altura Ha y

ángulo Â

Método basado en el teorema del arco capaz.

Triángulo dadas sus tres alturas

Ejercicio resuelto aplicando conceptos de potencia y semejanza.

Triángulo dadas altura, mediana y bisectriz del mismo lado (ha, ma & ba)

Ejercicio resuelto localizando el circuncentro.

Triángulo dado un lado y dos alturas

Método basado en el teorema del arco capaz.

Triángulo dadas sus tres medianas

Ejercicio resuelto basándonos en propiedades del baricentro.

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Cuadriláteros

Un cuadrilátero es un polígono de cuatro lados. En consecuencia tiene 4 ángulos. La suma de los ángulos de un cuadrilátero es 360 grados. Según la relación que existe entre sus lados opuestos los cuadriláteros se clasifican en paralelogramos, trapecios y trapezoides.

1. Paralelogramos

Los paralelogramos son cuadriláteros cuyos lados opuestos son paralelos dos a dos. A su vez se clasifican en cuadrado, rectángulo, rombo y romboide.

    1.a) Cuadrado.

Los cuadrados tienen todos sus lados iguales. Tienen también todos sus ángulos iguales y rectos. Sus diagonales son iguales y se cortan formando 90 grados.

    1.b) Rectángulo.

Los rectángulos tienen sus lados iguales dos a dos. Tiene sus cuatro ángulos iguales y rectos. Sus dos diagonales son iguales.

    1.c) Rombo.

Los rombos tienen sus cuatro lados iguales. Tienen sus ángulos opuestos iguales dos a dos y oblicuos. Sus diagonales son distintas y se cortan formando 90 grados.

    1.d) Romboide.

Los romboides tienen sus lados iguales dos a dos. Sus ángulos opuestos son iguales dos a dos y oblicuos. Sus diagonales son diferentes y oblicuas entre sí.

1.a) Cuadrado

1.b) Rectángulo

1.c) Rombo

1.d) Romboide

2. Trapecios

Los trapecios tienen únicamente dos de sus lados opuestos paralelos y los otros dos oblicuos. Se clasifican en trapecio rectángulo, trapecio isósceles y trapecio escaleno.

    2.a) Trapecio rectángulo.

Los trapecios rectángulos tienen dos ángulos rectos. Sus diagonales no son iguales.

    2.b) Trapecio isósceles.

Los trapecios isósceles tienen lados opuestos no paralelos iguales. Tienen sus ángulos iguales dos a dos. Tiene sus dos diagonales iguales.

    2.c) Trapecio escaleno.

Tiene sus cuatro ángulos diferentes. Sus diagonales también son distintas.

2.a) Trapecio rectángulo

2.b) Trapecio isósceles

2.c) Trapecio escaleno

3. Trapezoides

Los trapezoides son cuadriláteros que no tienen lados paralelos, sus ángulos son todos diferentes y sus diagonales son distintas y se cortan en oblicuo.

3. Trapezoide

 

Trazado de cuadriláteros

Cuadrado dado el lado

Método con regla y compás.

Cuadrado inscrito en una circunferencia

Tan sencillo como dibujar dos diámetros perpendiculares.

Cuadrado conocida su diagonal

Realizando la bisectriz de un ángulo recto.

Cuadrado dada la suma de su lado y su diagonal

Resuelto por proporcionalidad.

Rectángulo dados sus lados

Rectángulo dadas la diagonal y un lado (inscrito en una circunferencia)

Método basado en el teorema arco capaz.

Rombo dadas las diagonales

Rombo dado el lado y una diagonal

Método que construye un triángulo isósceles.

Rombo dada su altura y una diagonal

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Romboide dados sus lados y una altura

Romboide dados sus lados y 1 de sus ángulos

Trapecio rectángulo dadas las bases y la altura

Trapecio isósceles dadas sus bases y su altura

Trapecio dadas sus bases y sus diagonales

Método por triangulación.

Trapecio dados sus lados

Método por triangulación.

Trapezoide dados sus lados y una diagonal

Método por triangulación.

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Polígonos regulares

Los polígonos regulares son aquellos que tienen todos sus lados y ángulos iguales. Cuando el polígono regular resulta de unir vértices no consecutivos y vuelve al vértice inicial habiendo dado más de una vuelta, reciben el nombre de polígonos estrellados.

El ángulo central α de un polígono regular es aquel cuyo vértice es el centro del polígono y sus lados resultan de unir dicho vértice con dos lados consecutivos. Su magnitud será el resultado de dividir 360º entre el número de lados que tenga el polígono. El ángulo interior β de un polígono regular es el que forman dos lados consecutivos.

Para el trazado de polígonos regulares distinguimos dos tipos fundamentales:

Existen métodos exactos para dibujar muchos de los polígonos regulares pero no para todos ellos. Para estos últimos casos existen métodos de dibujo aproximados que asumen pequeños errores que suelen resultar despreciables si consideramos que estamos dibujando a mano y asumiendo por tanto errores mayores. En cada construcción que explicamos a continuación definiremos si el método es exacto o no, y en caso de ser aproximado, su error relativo.

Ángulos central α e interior β de un pentágono regular

 

Polígonos regulares dada la medida de su lado

Triángulo equilátero dado el lado

Método exacto.

Cuadrado dado el lado

Método exacto.

Pentágono regular dado el lado

Método exacto basado en la proporción áurea existente entre el lado y la diagonal del pentágono.

Hexágono regular dado el lado

Método exacto.

Heptágono regular dado el lado

Método aproximado que asume un error del 1,6%.

Octógono regular dado el lado

Método exacto.

Eneágono regular dado el lado

Método aproximado que asume un error del 6,6%.

Decágono regular dado el lado

Método exacto basado en la proporción áurea existente entre el lado y el radio de la circunferencia en la que se inscribe el decágono.

Método general para dibujar polígonos regulares dado el lado

Método aproximado que únicamente es exacto para el hexágono y el dodecágono. Para el resto asume los siguientes errores, según el número de lados: 3.4% en el heptágono, 4.7% en el octógono, 4.8% en el eneágono, 3.8% en el decágono, 2.2% en el dodecágono, etc.

 

Polígonos regulares inscritos en circunferencias

Triángulo equilátero inscrito

Método exacto.

Cuadrado inscrito

Método exacto.

Pentágono regular inscrito

Método exacto.

Hexágono regular inscrito

Método exacto.

Heptágono regular inscrito

Método aproximado que asume un error del 1,6%.

Octógono regular inscrito

Método exacto.

Eneágono regular inscrito

Método aproximado que asume un error del 2,6%.

Decágono regular inscrito

Método exacto basado en el pentágono inscrito.

Dodecágono regular inscrito

Método exacto.

Método general para dibujar polígonos regulares inscritos

Método general para dibujar polígonos regulares inscritos en circunferencias. Método aproximado que únicamente es exacto para el triángulo equilátero, el cuadrado, el hexágono. Para el resto de polígonos asume los siguientes errores, según el número de lados: 0.4% en el pentágono, 1.3% en el heptágono, 3.4% en el octógono, 6.3% en el eneágono, 10% en el decágono, 14.2% en el endecágono, 18.9% en el dodecágono, etc

 

Otros casos de construcción de polígonos regulares

Triángulo equilátero dada su altura

Método exacto.

Cuadrado conocida su diagonal

Método exacto.

Pentágono regular dada su diagonal

Método exacto basado en la proporción áurea existente entre el lado y la diagonal del pentágono.

Pentágono regular dada su apotema

pentágono regular dado el radio de su circunferencia inscrita, resuelto por semejanza con otro pentágono inscrito a su vez en la circunferencia anterior.

Hexágono regular dada la distancia entre lados opuestos

Método exacto.

Octógono inscrito en un cuadrado

Método exacto.

 

Polígonos estrellados

Los polígonos estrellados son aquellos polígonos regulares que resultan de unir vértices no consecutivos y vuelve al vértice inicial habiendo dado más de una vuelta, reciben el nombre de polígonos estrellados. Si dan dos vueltas serán estrellados de orden dos, si dan tres vueltas de orden tres, y así sucesivamente. En el caso de que, partiendo de un vértice, regresemos al mismo sin haber pasado por todos los vértices se considera falso estrellado. Superponiendo estos polígonos de manera que en todos los vértices se encuentren dos lados pueden dar la apariencia de estrellados pero realmente no lo son.

Pentágono estrellado dado el lado

Método exacto basado en la proporción áurea existente entre el lado y la diagonal del pentágono.

Pentágono estrellado dada distancia entre puntas

Método exacto basado en la proporción áurea existente entre el lado y la diagonal del pentágono.

Pentágono estrellado inscrito en circunferencia

Método exacto.

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Estrella de David dada la distancia entre puntas

Método exacto.

Hexágono estrellado inscrito en una circunferencia

Método exacto.

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